2.31 При каких значениях $x$ имеет смысл выражение: а) $\sqrt{\dfrac{2x+4}{x^2+8x-48}}\text{;}$ б) $\sqrt{\dfrac{14-x^2+5x}{x+2}}\text{;}$ в) $\sqrt{\dfrac{x^2+7x+10}{6-x}}\text{;}$ г) $\sqrt{\dfrac{x-3}{x^2+5x-24}}$?

Question

Вопрос: $Фото задания: 2.31 При каких значениях $x$ имеет смысл выражение: а) $\sqrt{\dfrac{2x+4}{x^2+8x-48}}\text{;}$ б)…$ Фото задания

Accepted Answer

Подкоренное выражение должно быть неотрицательным, а его знаменатель — отличным от нуля.

а) Разложим знаменатель: $(x+12)(x-4)$. Критические точки: −12, −2, 4; точки −12 и 4 исключаются как нули знаменателя.

б) Числитель равен $(7-x)(x+2)$. Сокращение с знаменателем допустимо только при сохранении ограничения $x\ne-2$; получаем $7-x\ge0$.

в) Получаем $\dfrac{(x+5)(x+2)}{6-x}\ge0$, где $x\ne6$. Учитываем нули −5 и −2.

г) Знаменатель равен $(x+8)(x-3)$. После сокращения остаётся $\dfrac1{x+8}$, но исходное выражение также не определено при $x=3$.

Ответ: а) $(-12,-2]\cup(4,+\infty)$; б) $(-\infty,-2)\cup(-2,7]$; в) $(-\infty,-5]\cup[-2,6)$; г) $(-8,3)\cup(3,+\infty)$.

2.31 При каких значениях \(x\) имеет смысл выражение: а) \(\sqrt{\dfrac{2x+4}{x^2+8x-48}}\text{;}\) б) \(\sqrt{\dfrac{14-x^2+5x}{x+2}}\text{;}\) в) \(\sqrt{\dfrac{x^2+7x+10}{6-x}}\text{;}\) г) \(\sqrt{\dfrac{x-3}{x^2+5x-24}}\)?