2.32 Найдите область определения выражения: а) \(\sqrt{\dfrac{x^2-9}{x^2-5x+6}}\text{;}\) б) \(\sqrt{\dfrac{2x^2-5x+2}{5x-6-x^2}}\text{;}\) в) \(\sqrt{\dfrac{2-x-x^2}{x^2-4}}\text{;}\) г) \(\sqrt{\dfrac{3x^2+10x+3}{x^2+8x+15}}\).

Для области определения требуется, чтобы подкоренная дробь была неотрицательной и знаменатель не равнялся нулю.

а) \(\dfrac{x^2-9}{x^2-5x+6}=\dfrac{(x-3)(x+3)}{(x-2)(x-3)}\), при этом \(x\ne2,3\). Решение знакового неравенства даёт \((-\infty,-3]\cup(2,+\infty)\), но точка 3 исключается.

б) После разложения и сокращения получаем \(-\dfrac{2x-1}{x-3}\ge0\); из исходного знаменателя также следует \(x\ne2\). Отсюда \([ frac12,3)\), кроме точки 2.

в) После сокращения получаем \(-\dfrac{x-1}{x-2}\ge0\); исходный знаменатель обращается в ноль при \(x=\pm2\). Из промежутка \([1,2)\) исключать дополнительные точки не нужно.

г) Сокращаем общий множитель \(x+3\), сохраняя ограничения \(x\ne-3,-5\). Решаем \(\dfrac{3x+1}{x+5}\ge0\); точку −3 исключаем.

Ответ: а) \((-\infty,-3]\cup(2,3)\cup(3,+\infty)\); б) \([ frac12,2)\cup(2,3)\); в) \([1,2)\); г) \((-\infty,-5)\cup[- frac13,+\infty)\), \(x\ne-3\).