2′(36). Треугольник ABC и трапеция KMNP имеют общую среднюю линию EF, причём KP ∥ MN, EF ∥ AC. а) Докажите, что AC ∥ KP. б) Найдите KP и MN, если KP : MN = 3 : 5, AC = 16 см.

а) По условию EF ∥ AC и EF — средняя линия трапеции, поэтому EF ∥ KP. Следовательно, AC и KP параллельны одной и той же прямой EF, значит, AC ∥ KP.

б) Так как EF — средняя линия треугольника ABC, EF = AC / 2 = 16 / 2 = 8 см. Как средняя линия трапеции, EF = (KP + MN) / 2, поэтому KP + MN = 16 см.

Отношение KP : MN = 3 : 5, всего 3 + 5 = 8 долей. Одна доля равна 16 / 8 = 2 см.

KP = 3 · 2 = 6 см; MN = 5 · 2 = 10 см.

Ответ: KP = 6 см, MN = 10 см.