3(26). Прямая CD проходит через вершину C треугольника ABC и не лежит в плоскости ABC. E и F — середины отрезков AB и BC. а) Докажите, что CD и EF — скрещивающиеся прямые. б) Найдите угол между прямыми CD и EF, если ∠DCA = 60°.

а) EF — средняя линия треугольника ABC, поэтому EF ∥ AC и EF лежит в плоскости ABC. Точка C не лежит на EF: отрезок EF параллелен AC, а проходит через середины AB и BC. Прямая CD пересекает плоскость ABC только в точке C, поэтому CD и EF не пересекаются. Они также не параллельны: иначе CD, проходя через C и будучи параллельной прямой EF плоскости ABC, лежала бы в этой плоскости, вопреки условию. Следовательно, CD и EF скрещиваются.

б) Поскольку EF ∥ AC, угол между CD и EF равен углу между CD и AC. По условию ∠DCA = 60°.

Ответ: 60°.