2(3б). Треугольник ABC и трапеция KMNP имеют общую среднюю линию EF, причём KP ∥ MN, EF ∥ AC. а) Докажите, что AC ∥ KP. б) Найдите KP и MN, если KP : MN = 3 : 5, AC = 16 см.

а) EF — средняя линия трапеции KMNP, поэтому EF ∥ KP. По условию EF ∥ AC. Следовательно, AC ∥ KP.

б) Так как EF — средняя линия треугольника ABC, \(EF=\frac{AC}{2}=8\) см. Также EF — средняя линия трапеции, поэтому \(\frac{KP+MN}{2}=8\), то есть \(KP+MN=16\).

Отношение KP : MN = 3 : 5 содержит 8 равных долей. Одна доля равна \(16:8=2\) см. Значит, \(KP=3\cdot2=6\) см, \(MN=5\cdot2=10\) см.

Ответ: KP = 6 см, MN = 10 см.