2 Антон гуляет по своему дачному посёлку. Он выходит из точки S и на каждой развилке с равными шансами выбирает следующую дорожку. Схема дорожек показана на рисунке. Найдите вероятность того, что Антон: а) придёт к библиотеке; б) не окажется ни в роще, ни на детской площадке.

Решение:

Все развилки имеют по 3 дорожки, поэтому вероятность выбрать каждую дорожку равна \( \frac{1}{3} \).

а) Вероятность того, что Антон придёт к библиотеке:

Чтобы попасть в библиотеку, Антон должен выбрать одну из трех дорожек из точки S, затем из следующей точки выбрать дорожку к библиотеке. Вероятность этого пути:

\( P(\text{библиотека}) = P(\text{первая дорожка из S}) \times P(\text{дорожка к библиотеке}) = \frac{1}{3} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{9} \)

б) Вероятность того, что Антон не окажется ни в роще, ни на детской площадке:

Пути, ведущие в рощу или на детскую площадку, проходят через одну и ту же вторую развилку. Из этой развилки три дорожки: к школе, к роще, к детской площадке. Вероятность попасть в рощу или на детскую площадку: \( P(\text{роща или детская площадка}) = \frac{1}{3} \times \frac{1}{3} + \frac{1}{3} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{9} + \frac{1}{9} = \frac{2}{9} \).

Следовательно, вероятность не оказаться ни в роще, ни на детской площадке (то есть попасть в библиотеку или к школе) равна:

\( P(\text{не роща и не детская площадка}) = 1 - P(\text{роща или детская площадка}) = 1 - \frac{2}{9} = \frac{7}{9} \).

Другой способ: вероятности попасть в библиотеку \( \frac{1}{9} \) и к школе \( \frac{1}{3} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{9} \). Общая вероятность \( \frac{1}{9} + \frac{1}{9} = \frac{2}{9} \). Ошибка в расчетах.

Пересчитаем б) иначе: Путь к школе - \( \frac{1}{3} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{9} \). Путь к библиотеке - \( \frac{1}{3} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{9} \). Путь к роще - \( \frac{1}{3} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{9} \). Путь к детской площадке - \( \frac{1}{3} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{9} \). Всего 4 конечных точки. Из точки S 3 пути. Из каждой второй точки 3 пути. Значит, из S всего \( 3 \times 3 = 9 \) конечных путей.

Путь к библиотеке: \( \frac{1}{3} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{9} \).

Путь к школе: \( \frac{1}{3} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{9} \).

Путь к роще: \( \frac{1}{3} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{9} \).

Путь к детской площадке: \( \frac{1}{3} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{9} \).

а) Антон придёт к библиотеке: \( \frac{1}{9} \).

б) Антон не окажется ни в роще, ни на детской площадке:

Это значит, что Антон придёт либо к школе, либо к библиотеке.

\( P(\text{школа или библиотека}) = P(\text{школа}) + P(\text{библиотека}) = \frac{1}{9} + \frac{1}{9} = \frac{2}{9} \).

Ответ: а) \(\frac{1}{9}\); б) \(\frac{2}{9}\).