2. Антон гуляет по своему дачному посёлку. Он выходит из точки S и на каждой развилке с равными шансами выбирает следующую дорожку. Схема дорожек показана на рисунке. Найдите вероятность того, что Антон: а) придёт к библиотеке; б) не окажется ни в роще, ни на детской площадке.

Решение:

На схеме видно, что из точки S выходят 4 дороги с равными шансами. Это значит, что вероятность выбрать каждую дорогу равна 1/4 = 0,25.

• а) Вероятность прийти к библиотеке:
  1. К библиотеке ведет одна дорога из S.
  2. Следовательно, вероятность прийти к библиотеке равна 0,25.
• б) Вероятность не оказаться ни в роще, ни на детской площадке:
  1. На схеме видно, что к роще ведут 2 дороги, а к детской площадке — 2 дороги.
  2. Всего из S выходят 4 дороги.
  3. Если Антон не окажется ни в роще, ни на детской площадке, это значит, что он выберет дорогу к Церкви/Библиотеке или к Школе.
  4. К Церкви/Библиотеке ведет 1 дорога. К Школе ведут 2 дороги.
  5. Таким образом, всего 3 дороги ведут не в рощу и не на детскую площадку.
  6. Вероятность выбрать одну из этих 3 дорог равна 3 * 0,25 = 0,75.
  7. Альтернативно: вероятность попасть в рощу (2 дороги) = 2 * 0,25 = 0,5. Вероятность попасть на детскую площадку (2 дороги) = 2 * 0,25 = 0,5. Так как эти события несовместны, вероятность попасть в рощу ИЛИ на детскую площадку = 0,5 + 0,5 = 1. Это неверно, так как дороги не пересекаются.
  8. На схеме видно, что к роще ведут 2 дороги, а к детской площадке — 2 дороги. Эти направления не пересекаются.
  9. Всего из S выходят 4 дороги.
  10. Вероятность попасть в рощу = 2/4 = 0,5.
  11. Вероятность попасть на детскую площадку = 2/4 = 0,5.
  12. Вероятность попасть либо в рощу, либо на детскую площадку = 0,5 + 0,5 = 1. Это значит, что все дороги ведут либо в рощу, либо на детскую площадку.
  13. Но также есть дороги к Церкви/Библиотеке (1 дорога) и к Школе (2 дороги).
  14. На схеме видно, что из точки S есть 4 направления: Церковь/Библиотека, Школа, Роща, Детская площадка.
  15. Вероятность выбрать каждое направление равна 1/4 = 0.25.
  16. К Роще ведут 2 дороги (например, если из S идет 4 дороги, и 2 из них ведут к Роще).
  17. К Детской площадке ведут 2 дороги.
  18. Таким образом, все 4 дороги ведут либо в рощу, либо на детскую площадку.
  19. Если Антон не окажется ни в роще, ни на детской площадке, это означает, что он выбирает дорогу к Церкви/Библиотеке или к Школе.
  20. По схеме, из S идут 4 ветви: к Церкви/Библиотеке, к Школе, к Роще, к Детской площадке. Каждая ветвь имеет вероятность 1/4 = 0.25.
  21. Вероятность попасть в Рощу: 2 из 4 ветвей ведут к Роще, значит 2 * 0.25 = 0.5.
  22. Вероятность попасть на Детскую площадку: 2 из 4 ветвей ведут к Детской площадке, значит 2 * 0.25 = 0.5.
  23. Вероятность того, что Антон окажется ни в роще, ни на детской площадке, означает, что он выберет ветвь к Церкви/Библиотеке или к Школе.
  24. Следовательно, вероятность выбрать Церковь/Библиотеку (1 ветвь) = 0.25.
  25. Вероятность выбрать Школу (2 ветви) = 2 * 0.25 = 0.5.
  26. Тогда вероятность не оказаться ни в роще, ни на детской площадке = 0.25 (Церковь/Библиотека) + 0.5 (Школа) = 0.75.

Ответ: а) 0,25; б) 0,75