5. На фабрике керамической посуды 20% произведённых тарелок имеют дефект. При контроле качества продукции выявляется 90% дефектных тарелок. Остальные тарелки поступают в продажу. Найдите вероятность того, что случайно выбранная при покупке тарелка не имеет дефектов. Ответ округлите до сотых.

Решение:

Обозначим события:

• $$Д$$ — тарелка имеет дефект.
• $$Н$$ — тарелка не имеет дефекта.
• $$К$$ — тарелка прошла контроль качества (т.е. поступила в продажу).

Из условия задачи:

• $$P(Д) = 0.20$$ (вероятность того, что тарелка имеет дефект)
• $$P(Н) = 1 - P(Д) = 1 - 0.20 = 0.80$$ (вероятность того, что тарелка не имеет дефекта)
• $$P( ext{выявлен дефект} | Д) = 0.90$$ (вероятность того, что дефект будет выявлен, если тарелка дефектная)

Нас интересует вероятность того, что тарелка, купленная при покупке, не имеет дефектов. Это означает, что она должна быть не дефектной И поступить в продажу.

Сначала определим вероятность того, что дефектная тарелка не будет выявлена (и поступит в продажу):

• $$P( ext{не выявлен дефект} | Д) = 1 - P( ext{выявлен дефект} | Д) = 1 - 0.90 = 0.10$$

Теперь рассмотрим две ситуации, когда тарелка, купленная при покупке, не имеет дефектов:

1. Ситуация 1: Тарелка изначально не дефектная.
• Вероятность того, что тарелка не дефектная, $$P(Н) = 0.80$$.
• Такие тарелки всегда поступают в продажу (так как нет дефекта для выявления).
• Вероятность этого исхода: $$P( ext{куплена не дефектная}) = P(Н) = 0.80$$.
2. Ситуация 2: Тарелка дефектная, но дефект не был выявлен при контроле.
• Вероятность того, что тарелка дефектная, $$P(Д) = 0.20$$.
• Вероятность того, что дефект не будет выявлен, $$P( ext{не выявлен дефект} | Д) = 0.10$$.
• Вероятность этого исхода: $$P( ext{куплена дефектная с невыявленным дефектом}) = P(Д) · P( ext{не выявлен дефект} | Д) = 0.20 · 0.10 = 0.02$$.

Общая вероятность того, что случайно выбранная при покупке тарелка не имеет дефектов, равна сумме вероятностей этих двух несовместных ситуаций:

• $$P( ext{куплена без дефектов}) = P( ext{куплена не дефектная}) + P( ext{куплена дефектная с невыявленным дефектом})$$
• $$P( ext{куплена без дефектов}) = 0.80 + 0.02 = 0.82$$

Ответ нужно округлить до сотых. В данном случае результат уже имеет два знака после запятой.