2) Боковое ребро правильной четырёхугольной пирамиды равно 4 см и образует с плоскостью основания угол 45°. а) Найдите высоту пирамиды. б) Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Пусть \(S\) — вершина пирамиды, \(O\) — центр квадратного основания, а \(A\) — вершина основания. Высота — это \(SO\), а проекция бокового ребра \(SA\) на плоскость основания — отрезок \(AO\). Треугольник \(SAO\) прямоугольный, причём \(\angle SAO=45^\circ\), \(SA=4\) см.

а) \(SO=SA\sin45^\circ=4\cdot\frac{\sqrt2}{2}=2\sqrt2\) см.

б) Так как \(\angle SAO=45^\circ\), то \(AO=SO=2\sqrt2\) см. Для квадрата с диагональю \(2AO\) сторона основания равна \(AO\sqrt2=4\) см. Апофема пирамиды проходит к середине стороны основания. В прямоугольном треугольнике с катетами \(SO=2\sqrt2\) и половиной стороны основания \(2\) она равна \(l=\sqrt{(2\sqrt2)^2+2^2}=2\sqrt3\) см.

Площадь боковой поверхности:

\(S_{\text{бок}}=\frac12\cdot(4\cdot4)\cdot2\sqrt3=16\sqrt3\text{ см}^2.\)

Ответ: а) \(2\sqrt2\) см; б) \(16\sqrt3\) см².