2) В правильном тетраэдре DABC с ребром a точка O — центр треугольника ABC. а) Постройте вектор 0,5 DB − 0,5 DA и найдите его длину. б) Найдите |DA + AC − OC|.

а) Используем правило вычитания векторов с общим началом: \(\overrightarrow{DB}-\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{AB}\). Следовательно, \(0{,}5\overrightarrow{DB}-0{,}5\overrightarrow{DA}=0{,}5\overrightarrow{AB}\). Это вектор, направленный так же, как \(\overrightarrow{AB}\), и вдвое короче него. Его длина равна \(\frac a2\).

б) По правилу сложения векторов \(\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{DC}\). Кроме того, \(-\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{CO}\), поэтому \(\overrightarrow{DC}-\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CO}=\overrightarrow{DO}\). Искомая длина равна высоте правильного тетраэдра.

В равностороннем треугольнике \(ABC\) медиана \(AO=\frac{a\sqrt3}{2}\), а \(AD=a\). Из прямоугольного треугольника \(DAO\):

\(DO=\sqrt{AD^2-AO^2}=\sqrt{a^2-\frac{3a^2}{4}}=\frac{a\sqrt2}{2}.\)

Ответ: а) вектор \(\frac12\overrightarrow{AB}\), длина \(\frac a2\); б) \(\frac{a\sqrt2}{2}\).