2. Даны точки A(1;-1;3), B(3;-1;1), C(-1;1;3). Найдите периметр треугольника ABC и его медианы.

Пошаговое решение:

1. Находим длины сторон треугольника:
• Длина стороны AB: \( |AB| = \sqrt{(3-1)^2 + (-1-(-1))^2 + (1-3)^2} = \sqrt{2^2 + 0^2 + (-2)^2} = \sqrt{4+0+4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \)
• Длина стороны BC: \( |BC| = \sqrt{(-1-3)^2 + (1-(-1))^2 + (3-1)^2} = \sqrt{(-4)^2 + 2^2 + 2^2} = \sqrt{16+4+4} = \sqrt{24} = 2\sqrt{6} \)
• Длина стороны AC: \( |AC| = \sqrt{(-1-1)^2 + (1-(-1))^2 + (3-3)^2} = \sqrt{(-2)^2 + 2^2 + 0^2} = \sqrt{4+4+0} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \)
2. Находим периметр треугольника:
• \( P = |AB| + |BC| + |AC| = 2\sqrt{2} + 2\sqrt{6} + 2\sqrt{2} = 4\sqrt{2} + 2\sqrt{6} \)
3. Находим медианы треугольника. Для этого сначала найдем координаты середин сторон.
• Середина стороны BC (точка M): \( M = (\frac{3+(-1)}{2}, \frac{-1+1}{2}, \frac{1+3}{2}) = (1, 0, 2) \)
• Медиана AM: \( |AM| = \sqrt{(1-1)^2 + (0-(-1))^2 + (2-3)^2} = \sqrt{0^2 + 1^2 + (-1)^2} = \sqrt{0+1+1} = \sqrt{2} \)
• Середина стороны AC (точка N): \( N = (\frac{1+(-1)}{2}, \frac{-1+1}{2}, \frac{3+3}{2}) = (0, 0, 3) \)
• Медиана BN: \( |BN| = \sqrt{(0-3)^2 + (0-(-1))^2 + (3-1)^2} = \sqrt{(-3)^2 + 1^2 + 2^2} = \sqrt{9+1+4} = \sqrt{14} \)
• Середина стороны AB (точка K): \( K = (\frac{1+3}{2}, \frac{-1+(-1)}{2}, \frac{3+1}{2}) = (2, -1, 2) \)
• Медиана CK: \( |CK| = \sqrt{(2-(-1))^2 + (-1-1)^2 + (2-3)^2} = \sqrt{3^2 + (-2)^2 + (-1)^2} = \sqrt{9+4+1} = \sqrt{14} \)

Ответ: Периметр треугольника P = 4\sqrt{2} + 2\sqrt{6}. Медианы треугольника равны |AM| = \sqrt{2}, |BN| = \sqrt{14}, |CK| = \sqrt{14}.