6. Даны точки М(1;3;0), N(2;3;-1), Р(1;2;-1). Найти угол между векторами РМ и PN.

Пошаговое решение:

1. Найдем векторы РМ и PN:
• \( \vec{PM} = (1-1; 3-2; 0-(-1)) = (0; 1; 1) \)
• \( \vec{PN} = (2-1; 3-2; -1-(-1)) = (1; 1; 0) \)
2. Найдем скалярное произведение векторов РМ и PN:

\( \vec{PM} \cdot \vec{PN} = (0)(1) + (1)(1) + (1)(0) = 0 + 1 + 0 = 1 \)

3. Найдем длины векторов РМ и PN:
• \( |\vec{PM}| = \sqrt{0^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{0+1+1} = \sqrt{2} \)
• \( |\vec{PN}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 0^2} = \sqrt{1+1+0} = \sqrt{2} \)
4. Найдем косинус угла между векторами по формуле:

\( \cos(\theta) = \frac{\vec{PM} \cdot \vec{PN}}{|\vec{PM}| \cdot |\vec{PN}|} \)

\( \cos(\theta) = \frac{1}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{1}{2} \)

5. Найдем сам угол:

\( \theta = \arccos(\frac{1}{2}) = 60^{\circ} \) или \( \frac{\pi}{3} \) радиан.

Ответ: Угол между векторами РМ и PN равен 60°.