2. Доказать, что при пересечении двух параллельных прямых секущей а) соответственные углы равны, б) сумма односторонних равна 180°.

Доказательство:

Пусть даны две параллельные прямые a и b, и секущая c. Обозначим углы:

а) Доказательство равенства соответственных углов:

1. Пусть секущая c пересекает прямую a в точке A и прямую b в точке B.
2. Обозначим угол 1 (соответственный углу 2).
3. Приложим угол 1 к углу 2 так, чтобы вершина A совпала с вершиной B, а одна из сторон угла 1 совпала с секущей c.
4. Если бы прямые a и b не были параллельны, то угол 1 не совпал бы со стороной угла 2.
5. Так как прямые a и b параллельны, то сторона угла 1, лежащая на прямой a, будет параллельна стороне угла 2, лежащей на прямой b.
6. Следовательно, соответственные углы равны: \( \angle 1 = \angle 2 \).

б) Доказательство суммы односторонних углов:

1. Пусть односторонние углы — это угол 3 и угол 4.
2. Угол 3 и угол 1 являются смежными. Сумма смежных углов равна 180°: \( \angle 3 + \angle 1 = 180° \).
3. Из пункта (а) мы знаем, что соответственные углы равны: \( \angle 1 = \angle 2 \).
4. Подставим \( \angle 1 \) вместо \( \angle 2 \) в уравнение из пункта (б): \( \angle 3 + \angle 2 = 180° \).
5. Углы 2 и 4 являются накрест лежащими. Так как \( \angle 3 + \angle 2 = 180° \), то \( \angle 3 \) и \( \angle 2 \) — односторонние углы.
6. Пусть \( \angle 3 \) и \( \angle 4 \) — односторонние углы. Угол 1 и угол 4 — накрест лежащие, значит \( \angle 1 = \angle 4 \).
7. Угол 1 и угол 3 — смежные: \( \angle 1 + \angle 3 = 180° \).
8. Заменим \( \angle 1 \) на \( \angle 4 \): \( \angle 4 + \angle 3 = 180° \).
9. Таким образом, сумма односторонних углов равна 180°.

Ответ: Соответственные углы равны, сумма односторонних углов равна 180°.