2) \(\frac{1}{\cos \frac{4\pi}{3} - i \sin \frac{4\pi}{3}}\)

2. Решение:

Для решения этого примера воспользуемся формулой деления комплексных чисел в тригонометрической форме и свойством сопряженного комплексного числа.

1. Шаг 1: Запишем знаменатель в виде \(z = r(\cos \theta + i \sin \theta)\). В данном случае \(r=1\) и \(\theta = -\frac{4\pi}{3}\) (так как \(\cos(-\alpha) = \cos \alpha\) и \(\sin(-\alpha) = -\sin \alpha\)).
   Знаменатель равен \(\cos(-\frac{4\pi}{3}) + i \sin(-\frac{4\pi}{3})\).
2. Шаг 2: Заметим, что \(-\frac{4\pi}{3} = -2\pi + \frac{2\pi}{3}\). Следовательно, \(\cos(-\frac{4\pi}{3}) = \cos(\frac{2\pi}{3}) = -\frac{1}{2}\) и \(\sin(-\frac{4\pi}{3}) = \sin(\frac{2\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}\).
3. Шаг 3: Значит, знаменатель равен \(-\frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2}\).
4. Шаг 4: Теперь нам нужно вычислить \(\frac{1}{-\frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2}}\). Для этого умножим числитель и знаменатель на сопряженное число к знаменателю: \(-\frac{1}{2} - i \frac{\sqrt{3}}{2}\).
5. Шаг 5: Выполняем умножение:
   \(\frac{1 \cdot (-\frac{1}{2} - i \frac{\sqrt{3}}{2})}{(-\frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2})(-\frac{1}{2} - i \frac{\sqrt{3}}{2})} = \frac{-\frac{1}{2} - i \frac{\sqrt{3}}{2}}{(-\frac{1}{2})^2 - (i \frac{\sqrt{3}}{2})^2} = \frac{-\frac{1}{2} - i \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{4} - i^2 \frac{3}{4}} = \frac{-\frac{1}{2} - i \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{4} + \frac{3}{4}} = \frac{-\frac{1}{2} - i \frac{\sqrt{3}}{2}}{1} = -\frac{1}{2} - i \frac{\sqrt{3}}{2}\).

Ответ: \(-\frac{1}{2} - i \frac{\sqrt{3}}{2}\)