5) \((\frac{i^8+\sqrt{3}i^5}{4})^5\)

5. Решение:

Для решения этого примера сначала упростим выражение внутри скобок, используя свойства степеней \(i\), а затем применим формулу Муавра.

1. Шаг 1: Упростим степени \(i\):
   \(i^8 = (i^4)^2 = 1^2 = 1\).
   \(i^5 = i^4 · i = 1 · i = i\).
2. Шаг 2: Подставим упрощенные значения в выражение внутри скобок:
   \(\frac{1 + \sqrt{3}i}{4}\).
3. Шаг 3: Преобразуем полученное комплексное число в тригонометрическую форму.
   Модуль \(r = \sqrt{(\frac{1}{4})^2 + (\frac{\sqrt{3}}{4})^2} = \sqrt{\frac{1}{16} + \frac{3}{16}} = \sqrt{\frac{4}{16}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}\).
   Аргумент \(\theta = \arctan(\frac{\sqrt{3}/4}{1/4}) = \arctan(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{3}\).
   Таким образом, \(\frac{1 + \sqrt{3}i}{4} = \frac{1}{2}(\cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3})\).
4. Шаг 4: Теперь возведем это число в пятую степень, используя формулу Муавра: \([r(\cos \theta + i \sin \theta)]^n = r^n [\cos(n\theta) + i \sin(n\theta)]\).
   \((\frac{1}{2})^5(\cos(5 \cdot \frac{\pi}{3}) + i \sin(5 \cdot \frac{\pi}{3})) = \frac{1}{32}(\cos \frac{5\pi}{3} + i \sin \frac{5\pi}{3})\).
5. Шаг 5: Вычислим значения косинуса и синуса:
   \(\cos \frac{5\pi}{3} = \frac{1}{2}\).
   \(\sin \frac{5\pi}{3} = -\frac{\sqrt{3}}{2}\).
6. Шаг 6: Подставим значения и получим результат:
   \(\frac{1}{32}(\frac{1}{2} - i \frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{1}{64} - i \frac{\sqrt{3}}{64}\).

Ответ: \(\frac{1}{64} - i \frac{\sqrt{3}}{64}\)