56. Выполнить действия и записать результат в алгебраической форме:

1. Решение:

Для решения этого примера воспользуемся формулой деления комплексных чисел в тригонометрической форме: \(\frac{r_1(\cos \theta_1 + i \sin \theta_1)}{r_2(\cos \theta_2 + i \sin \theta_2)} = \frac{r_1}{r_2} [\cos(\theta_1 - \theta_2) + i \sin(\theta_1 - \theta_2)]\)

В данном случае, \(r_1 = 1\), \(\theta_1 = \frac{5\pi}{3}\), \(r_2 = 1\), \(\theta_2 = \frac{\pi}{6}\). Также в числителе есть множитель \(i\), который можно представить как \(\cos \frac{\pi}{2} + i \sin \frac{\pi}{2}\).

1. Шаг 1: Представим \(i\) в тригонометрической форме: \(i = \cos \frac{\pi}{2} + i \sin \frac{\pi}{2}\).
2. Шаг 2: Применим формулу деления комплексных чисел:
   \(\frac{i(\cos \frac{5\pi}{3} + i \sin \frac{5\pi}{3})}{\cos \frac{\pi}{6} + i \sin \frac{\pi}{6}} = \frac{(\cos \frac{\pi}{2} + i \sin \frac{\pi}{2})(\cos \frac{5\pi}{3} + i \sin \frac{5\pi}{3})}{\cos \frac{\pi}{6} + i \sin \frac{\pi}{6}}\)
3. Шаг 3: Сначала перемножим комплексные числа в числителе, используя формулу умножения: \(r_1 r_2 [\cos(\theta_1 + \theta_2) + i \sin(\theta_1 + \theta_2)]\).
   \(\cos(\frac{\pi}{2} + \frac{5\pi}{3}) + i \sin(\frac{\pi}{2} + \frac{5\pi}{3}) = \cos(\frac{3\pi + 10\pi}{6}) + i \sin(\frac{3\pi + 10\pi}{6}) = \cos(\frac{13\pi}{6}) + i \sin(\frac{13\pi}{6})\).
4. Шаг 4: Учтем, что \(\frac{13\pi}{6} = 2\pi + \frac{\pi}{6}\), поэтому \(\cos(\frac{13\pi}{6}) = \cos(\frac{\pi}{6})\) и \(\sin(\frac{13\pi}{6}) = \sin(\frac{\pi}{6})\).
   Таким образом, числитель равен: \(\cos \frac{\pi}{6} + i \sin \frac{\pi}{6}\).
5. Шаг 5: Теперь разделим полученное выражение на знаменатель:
   \(\frac{\cos \frac{\pi}{6} + i \sin \frac{\pi}{6}}{\cos \frac{\pi}{6} + i \sin \frac{\pi}{6}} = 1\).

Ответ: 1