4) \(\frac{(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i)(\cos \frac{\pi}{3} - i \sin \frac{\pi}{3})}{1-i}\)

4. Решение:

Для решения этого примера преобразуем все комплексные числа в тригонометрическую форму, а затем применим правила умножения и деления.

1. Шаг 1: Преобразуем числитель первой скобки: \(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i\).
   Модуль \(r = \sqrt{(\frac{1}{2})^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2})^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{3}{4}} = 1\).
   Аргумент \(\theta = \arctan(\frac{\sqrt{3}/2}{1/2}) = \arctan(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{3}\).
   Таким образом, \(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i = \cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3}\).
2. Шаг 2: Преобразуем вторую часть числителя: \(\cos \frac{\pi}{3} - i \sin \frac{\pi}{3}\).
   Модуль \(r=1\), аргумент \(\theta = -\frac{\pi}{3}\).
   Таким образом, \(\cos \frac{\pi}{3} - i \sin \frac{\pi}{3} = \cos(-\frac{\pi}{3}) + i \sin(-\frac{\pi}{3})\).
3. Шаг 3: Преобразуем знаменатель: \(1-i\).
   Модуль \(r = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{1+1} = \sqrt{2}\).
   Аргумент \(\theta = \arctan(\frac{-1}{1}) = -\frac{\pi}{4}\) (так как число находится в четвертом квадранте).
   Таким образом, \(1-i = \sqrt{2}(\cos(-\frac{\pi}{4}) + i \sin(-\frac{\pi}{4}))\).
4. Шаг 4: Теперь подставим преобразованные числа в исходное выражение:
   \(\frac{(\cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3})(\cos(-\frac{\pi}{3}) + i \sin(-\frac{\pi}{3}))}{\sqrt{2}(\cos(-\frac{\pi}{4}) + i \sin(-\frac{\pi}{4}))}\).
5. Шаг 5: Умножим комплексные числа в числителе, используя правило умножения: \(r_1 r_2 [\cos(\theta_1 + \theta_2) + i \sin(\theta_1 + \theta_2)]\).
   \((\cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3})(\cos(-\frac{\pi}{3}) + i \sin(-\frac{\pi}{3})) = 1 \cdot 1 [\cos(\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{3}) + i \sin(\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{3})] = \cos(0) + i \sin(0) = 1\).
6. Шаг 6: Теперь разделим результат числителя (1) на знаменатель:
   \(\frac{1}{\sqrt{2}(\cos(-\frac{\pi}{4}) + i \sin(-\frac{\pi}{4}))} = \frac{1}{\sqrt{2}} [\cos(0 - (-\frac{\pi}{4})) + i \sin(0 - (-\frac{\pi}{4}))]\)
7. Шаг 7: Упростим выражение:
   \(\frac{1}{\sqrt{2}} [\cos(\frac{\pi}{4}) + i \sin(\frac{\pi}{4})] = \frac{1}{\sqrt{2}} (\frac{\sqrt{2}}{2} + i \frac{\sqrt{2}}{2})\).
8. Шаг 8: Раскроем скобки:
   \(\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + i \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}i\).

Ответ: \(\frac{1}{2} + \frac{1}{2}i\)