3) \(\frac{(\cos \frac{\pi}{3} - i \sin \frac{\pi}{3})(1+\sqrt{3}i)^7}{i}\)

3. Решение:

Для решения этого примера будем использовать тригонометрическую форму комплексных чисел, формулу Муавра, а также правила умножения и деления комплексных чисел.

1. Шаг 1: Преобразуем каждое комплексное число в тригонометрическую форму.
• Числитель первой скобки: \(\cos \frac{\pi}{3} - i \sin \frac{\pi}{3}\). Это число имеет модуль \(r=1\) и аргумент \(\theta = -\frac{\pi}{3}\).
• Вторая часть числителя: \(1+\sqrt{3}i\). Модуль \(r = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1+3} = 2\). Аргумент \(\theta = \arctan(\frac{\sqrt{3}}{1}) = \frac{\pi}{3}\).
  Таким образом, \(1+\sqrt{3}i = 2(\cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3})\).
• Знаменатель: \(i\). Модуль \(r=1\), аргумент \(\theta = \frac{\pi}{2}\).
2. Шаг 2: Применим формулу Муавра для возведения в степень: \([r(\cos \theta + i \sin \theta)]^n = r^n [\cos(n\theta) + i \sin(n\theta)]\).
   \((1+\sqrt{3}i)^7 = 2^7 (\cos(7 \cdot \frac{\pi}{3}) + i \sin(7 \cdot \frac{\pi}{3})) = 128 (\cos \frac{7\pi}{3} + i \sin \frac{7\pi}{3})\).
3. Шаг 3: Упростим углы: \(\frac{7\pi}{3} = 2\pi + \frac{\pi}{3}\).
   Значит, \(\cos \frac{7\pi}{3} = \cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}\) и \(\sin \frac{7\pi}{3} = \sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}\).
   Следовательно, \((1+\sqrt{3}i)^7 = 128 (\frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2}) = 64 + 64\sqrt{3}i\).
4. Шаг 4: Теперь подставим все в исходное выражение:
   \(\frac{(\cos(-\frac{\pi}{3}) + i \sin(-\frac{\pi}{3})) · 128(\cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3})}{(\cos \frac{\pi}{2} + i \sin \frac{\pi}{2})}\)
5. Шаг 5: Используем формулу умножения комплексных чисел в числителе:
   \((\cos(-\frac{\pi}{3}) + i \sin(-\frac{\pi}{3}))(\cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3}) = \cos(-\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{3}) + i \sin(-\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{3}) = \cos(0) + i \sin(0) = 1\).
6. Шаг 6: Числитель равен \(1 \cdot 128 = 128\).
7. Шаг 7: Теперь делим на знаменатель:
   \(\frac{128}{\cos \frac{\pi}{2} + i \sin \frac{\pi}{2}} = \frac{128}{i}\).
8. Шаг 8: Умножим числитель и знаменатель на \(-i\) (сопряженное к \(i\)):
   \(\frac{128 \cdot (-i)}{i · (-i)} = \frac{-128i}{-i^2} = \frac{-128i}{1} = -128i\).

Ответ: \(-128i\)