6) \(\frac{(2i)^7}{(-\sqrt{2}+i\sqrt{2})^6}\)

6. Решение:

Для решения этого примера преобразуем числитель и знаменатель в тригонометрическую форму, а затем воспользуемся правилами возведения в степень и деления комплексных чисел.

1. Шаг 1: Преобразуем числитель: \((2i)^7\).
   \(2i = 2(\cos \frac{\pi}{2} + i \sin \frac{\pi}{2})\).
   \((2i)^7 = 2^7 (\cos(7 \cdot \frac{\pi}{2}) + i \sin(7 \cdot \frac{\pi}{2})) = 128 (\cos \frac{7\pi}{2} + i \sin \frac{7\pi}{2})\).
   Упростим углы: \(\frac{7\pi}{2} = 3\pi + \frac{\pi}{2}\). Так как \(\cos(3\pi + \alpha) = -\cos \alpha\) и \(\sin(3\pi + \alpha) = -\sin \alpha\), имеем:
   \(\cos \frac{7\pi}{2} = -\cos \frac{\pi}{2} = 0\).
   \(\sin \frac{7\pi}{2} = -\sin \frac{\pi}{2} = -1\).
   Числитель равен \(128(0 - i · 1) = -128i\).
2. Шаг 2: Преобразуем знаменатель: \((-\sqrt{2}+i\sqrt{2})^6\).
   Модуль \(r = \sqrt{(-\sqrt{2})^2 + (\sqrt{2})^2} = \sqrt{2+2} = \sqrt{4} = 2\).
   Аргумент \(\theta\): \(\tan \theta = \frac{\sqrt{2}}{-\sqrt{2}} = -1\). Так как число находится во втором квадранте (отрицательная действительная часть, положительная мнимая), \(\theta = \frac{3\pi}{4}\).
   Значит, \(-\sqrt{2}+i\sqrt{2} = 2(\cos \frac{3\pi}{4} + i \sin \frac{3\pi}{4})\).
3. Шаг 3: Возведем знаменатель в шестую степень по формуле Муавра:
   \((2(\cos \frac{3\pi}{4} + i \sin \frac{3\pi}{4}))^6 = 2^6 (\cos(6 \cdot \frac{3\pi}{4}) + i \sin(6 \cdot \frac{3\pi}{4})) = 64 (\cos \frac{18\pi}{4} + i \sin \frac{18\pi}{4})\).
4. Шаг 4: Упростим углы: \(\frac{18\pi}{4} = \frac{9\pi}{2} = 4\pi + \frac{\pi}{2}\).
   \(\cos \frac{9\pi}{2} = \cos \frac{\pi}{2} = 0\).
   \(\sin \frac{9\pi}{2} = \sin \frac{\pi}{2} = 1\).
   Знаменатель равен \(64(0 + i · 1) = 64i\).
5. Шаг 5: Теперь выполним деление:
   \(\frac{-128i}{64i}\).
6. Шаг 6: Сократим выражение:
   \(\frac{-128}{64} = -2\).

Ответ: \(-2\)