2. Используя метод выделения квадрата двучлена, докажите, что при любых неотрицательных значениях переменной \(x\) выполняется неравенство \(x^3-10x\sqrt{x}+26>0\).

Положим \(t=\sqrt{x}\). При \(x\ge 0\) имеем \(t\ge0\), а \(x=t^2\).

Тогда \(x^3-10x\sqrt{x}+26=t^6-10t^3+26\).

Выделим квадрат двучлена: \(t^6-10t^3+26=(t^3-5)^2+1\).

Квадрат неотрицателен, поэтому \((t^3-5)^2+1\ge1>0\).

Следовательно, неравенство верно при всех \(x\ge0\).