2. Куб, все грани которого окрашены, распилен на 125 кубиков одинакового размера, которые затем тщательно перемешаны. Найти вероятность того, что наудачу извлеченный кубик будет иметь окрашенных граней: а) три; б) две; в) одну.

Задание 2. Куб, распиленный на кубики

Большой куб распилен на \( 125 \) маленьких кубиков. Поскольку \( 125 = 5^3 \), это означает, что большой куб был разделён на \( 5 \times 5 \times 5 \) маленьких кубиков. Общее количество маленьких кубиков равно \( 125 \).

а) Кубики с тремя окрашенными гранями:

Кубики с тремя окрашенными гранями — это те, которые находятся в вершинах большого куба. У куба 8 вершин. Каждый такой кубик имеет три окрашенные грани, выходящие из одной вершины.

Число таких кубиков = 8.

Вероятность извлечь кубик с тремя окрашенными гранями: \( P(\text{3 грани}) = \frac{8}{125} \).

б) Кубики с двумя окрашенными гранями:

Кубики с двумя окрашенными гранями находятся на рёбрах большого куба, но не в вершинах. У большого куба 12 рёбер. Каждое ребро состоит из 5 маленьких кубиков. Два крайних кубика на ребре — это угловые (с тремя окрашенными гранями). Остаётся \( 5 - 2 = 3 \) кубика на каждом ребре, которые имеют по две окрашенные грани.

Число таких кубиков = \( 12 \text{ рёбер} \times 3 \text{ кубика на ребре} = 36 \) кубиков.

Вероятность извлечь кубик с двумя окрашенными гранями: \( P(\text{2 грани}) = \frac{36}{125} \).

в) Кубики с одной окрашенной гранью:

Кубики с одной окрашенной гранью находятся на каждой грани большого куба, но не на рёбрах и не в вершинах. Каждая грань большого куба — это квадрат \( 5 \times 5 \) маленьких кубиков. Из них \( 2 \times 2 = 4 \) кубика являются центральными на грани (не на рёбрах).

Число таких кубиков = \( 6 \text{ граней} \times (5-2) \times (5-2) = 6 \text{ граней} \times 3 \times 3 = 6 \times 9 = 54 \) кубика.

Вероятность извлечь кубик с одной окрашенной гранью: \( P(\text{1 грань}) = \frac{54}{125} \).

Проверка: Сумма всех кубиков: \( 8 + 36 + 54 = 98 \). Кажется, я упустил кубики без окрашенных граней. Давайте пересчитаем.

Пересчет:

Размер куба: \( n=5 \) (т.е. \( 5 \times 5 \times 5 \) кубиков).

а) Три окрашенные грани: кубики в вершинах. Их всегда 8.

\( P(\text{3 грани}) = \frac{8}{125} \).

б) Две окрашенные грани: кубики на ребрах, исключая вершины. На каждом ребре \( n-2 \) таких кубиков. Всего рёбер 12.

Число кубиков = \( 12 \times (n-2) = 12 \times (5-2) = 12 \times 3 = 36 \).

\( P(\text{2 грани}) = \frac{36}{125} \).

в) Одна окрашенная грань: кубики на гранях, исключая ребра. На каждой грани \( (n-2) \times (n-2) \) таких кубиков. Всего граней 6.

Число кубиков = \( 6 \times (n-2)^2 = 6 \times (5-2)^2 = 6 \times 3^2 = 6 \times 9 = 54 \).

\( P(\text{1 грань}) = \frac{54}{125} \).

Г) Кубики без окрашенных граней: это внутренние кубики. Их число равно \( (n-2)^3 \).

Число кубиков = \( (5-2)^3 = 3^3 = 27 \).

\( P(\text{0 граней}) = \frac{27}{125} \).

Проверка: \( 8 + 36 + 54 + 27 = 125 \). Теперь всё сходится!

Ответ:

• а) Три окрашенные грани: вероятность \( \frac{8}{125} \).
• б) Две окрашенные грани: вероятность \( \frac{36}{125} \).
• в) Одна окрашенная грань: вероятность \( \frac{54}{125} \).