3. В ящике имеется 12 деталей, среди которых 7 окрашенных. Сборщик наудачу извлекает 4 детали. Найти вероятность того, что все 4 извлеченные детали окажутся окрашенными.

Задание 3. Вероятность извлечения окрашенных деталей

У нас есть ящик с 12 деталями, из которых 7 окрашенных и \( 12 - 7 = 5 \) неокрашенных.

Сборщик наудачу извлекает 4 детали. Мы хотим найти вероятность того, что все 4 детали будут окрашенными.

Это задача на комбинаторику, где порядок выбора деталей не важен. Будем использовать сочетания.

Общее число способов выбрать 4 детали из 12:

Это число сочетаний из 12 по 4, обозначается как \( C_{12}^4 \) или \( \binom{12}{4} \).

\[ C_{12}^4 = \frac{12!}{4!(12-4)!} = \frac{12!}{4!8!} = \frac{12 \times 11 \times 10 \times 9}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = \frac{11880}{24} = 495 \]

Число способов выбрать 4 окрашенные детали из 7 имеющихся:

Это число сочетаний из 7 по 4, обозначается как \( C_{7}^4 \) или \( \binom{7}{4} \).

\[ C_{7}^4 = \frac{7!}{4!(7-4)!} = \frac{7!}{4!3!} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = \frac{210}{6} = 35 \]

Вероятность события:

Вероятность того, что все 4 извлеченные детали окажутся окрашенными, равна отношению числа способов выбрать 4 окрашенные детали к общему числу способов выбрать 4 детали.

\[ P(\text{все 4 окрашенные}) = \frac{\text{Число способов выбрать 4 окрашенные детали}}{\text{Общее число способов выбрать 4 детали}} = \frac{C_{7}^4}{C_{12}^4} \]\[ P(\text{все 4 окрашенные}) = \frac{35}{495} \]

Теперь сократим дробь. Оба числа делятся на 5:

\[ \frac{35 \div 5}{495 \div 5} = \frac{7}{99} \]

Ответ: Вероятность того, что все 4 извлеченные детали окажутся окрашенными, равна \( \frac{7}{99} \).