6. Из партии в 20 изделий, среди которых имеется 6 бракованных, выбраны случайным образом 3 изделия для проверки. Пусть Х – число бракованных изделий среди отобранных. Найти закон распределения, математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение и моду случайной величины.

Задание 6. Анализ случайной величины

У нас есть партия из 20 изделий, из которых 6 бракованных и \( 20 - 6 = 14 \) небракованных.

Случайным образом выбираются 3 изделия. \( X \) — число бракованных изделий среди отобранных.

Возможные значения \( X \): 0, 1, 2, 3.

Это задача на гипергеометрическое распределение.

1. Закон распределения случайной величины X

Общее число способов выбрать 3 изделия из 20:

\[ C_{20}^3 = \frac{20!}{3!17!} = \frac{20 \times 19 \times 18}{3 \times 2 \times 1} = 20 \times 19 \times 3 = 1140 \]

P(X=0): Вероятность выбрать 0 бракованных (и 3 небракованных).

\[ C_{6}^0 = 1 \]
\[ C_{14}^3 = \frac{14!}{3!11!} = \frac{14 \times 13 \times 12}{3 \times 2 \times 1} = 14 \times 13 \times 2 = 364 \]
\[ P(X=0) = \frac{C_{6}^0 \times C_{14}^3}{C_{20}^3} = \frac{1 \times 364}{1140} = \frac{364}{1140} \]

Сокращаем: \( \frac{364 \div 4}{1140 \div 4} = \frac{91}{285} \).

P(X=1): Вероятность выбрать 1 бракованное (и 2 небракованных).

\[ C_{6}^1 = 6 \]
\[ C_{14}^2 = \frac{14!}{2!12!} = \frac{14 \times 13}{2 \times 1} = 91 \]
\[ P(X=1) = \frac{C_{6}^1 \times C_{14}^2}{C_{20}^3} = \frac{6 \times 91}{1140} = \frac{546}{1140} \]

Сокращаем: \( \frac{546 \div 6}{1140 \div 6} = \frac{91}{190} \).

P(X=2): Вероятность выбрать 2 бракованных (и 1 небракованное).

\[ C_{6}^2 = \frac{6!}{2!4!} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15 \]
\[ C_{14}^1 = 14 \]
\[ P(X=2) = \frac{C_{6}^2 \times C_{14}^1}{C_{20}^3} = \frac{15 \times 14}{1140} = \frac{210}{1140} \]

Сокращаем: \( \frac{210 \div 30}{1140 \div 30} = \frac{7}{38} \).

P(X=3): Вероятность выбрать 3 бракованных (и 0 небракованных).

\[ C_{6}^3 = \frac{6!}{3!3!} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20 \]
\[ C_{14}^0 = 1 \]
\[ P(X=3) = \frac{C_{6}^3 \times C_{14}^0}{C_{20}^3} = \frac{20 \times 1}{1140} = \frac{20}{1140} \]

Сокращаем: \( \frac{20 \div 20}{1140 \div 20} = \frac{1}{57} \).

Проверка суммы вероятностей:

\[ \frac{91}{285} + \frac{91}{190} + \frac{7}{38} + \frac{1}{57} \]

Приведём к общему знаменателю. \( 285 = 3 \times 5 \times 19 \), \( 190 = 2 \times 5 \times 19 \), \( 38 = 2 \times 19 \), \( 57 = 3 \times 19 \). Общий знаменатель: \( 2 \times 3 \times 5 \times 19 = 570 \).

\[ \frac{91 \times 2}{570} + \frac{91 \times 3}{570} + \frac{7 \times 15}{570} + \frac{1 \times 10}{570} = \frac{182 + 273 + 105 + 10}{570} = \frac{570}{570} = 1 \]

Закон распределения:

\( X \)	0	1	2	3
\( P(X=x) \)	\( \frac{91}{285} \)	\( \frac{91}{190} \)	\( \frac{7}{38} \)	\( \frac{1}{57} \)

2. Математическое ожидание (M(X) или E(X))

Для гипергеометрического распределения формула:

\[ M(X) = n \frac{K}{N} \]

Где \( n=3 \) (число испытаний/выборок), \( K=6 \) (число "успехов" в генеральной совокупности), \( N=20 \) (объем генеральной совокупности).

\[ M(X) = 3 \times \frac{6}{20} = 3 \times \frac{3}{10} = \frac{9}{10} = 0.9 \]

(Расчет через закон распределения: \( 0 \times \frac{91}{285} + 1 \times \frac{91}{190} + 2 \times \frac{7}{38} + 3 \times \frac{1}{57} = \frac{91}{190} + \frac{14}{38} + \frac{3}{57} = \frac{91}{190} + \frac{70}{190} + \frac{10}{190} = \frac{171}{190} \). Где-то ошибка в расчетах или формуле. Перепроверим формулу M(X) для гипергеометрического распределения. Формула \( nK/N \) верна.)

Пересчитаем вручную:

\[ M(X) = (0 \times \frac{91}{285}) + (1 \times \frac{546}{1140}) + (2 \times \frac{210}{1140}) + (3 \times \frac{20}{1140}) \]
\[ M(X) = 0 + \frac{546}{1140} + \frac{420}{1140} + \frac{60}{1140} = \frac{1026}{1140} \]

Сокращаем: \( \frac{1026 \div 18}{1140 \div 18} = \frac{57}{63.33} \) — не подходит. Делим на 6: \( \frac{1026 \div 6}{1140 \div 6} = \frac{171}{190} \).

\( \frac{171}{190} = 0.9 \). Значит, \( M(X) = 0.9 \) верно.

3. Дисперсия (D(X))

Формула дисперсии для гипергеометрического распределения:

\[ D(X) = n \frac{K}{N} \frac{N-K}{N} \frac{N-n}{N-1} \]

\( n=3, K=6, N=20 \)

\[ D(X) = 3 \times \frac{6}{20} \times \frac{20-6}{20} \times \frac{20-3}{20-1} \]
\[ D(X) = 3 \times \frac{6}{20} \times \frac{14}{20} \times \frac{17}{19} \]
\[ D(X) = 3 \times \frac{3}{10} \times \frac{7}{10} \times \frac{17}{19} \]
\[ D(X) = \frac{9}{10} \times \frac{7}{10} \times \frac{17}{19} = \frac{63}{100} \times \frac{17}{19} = \frac{1071}{1900} \]

\( \frac{1071}{1900} \approx 0.5637 \).

4. Среднее квадратическое отклонение (\( \sigma \))

Среднее квадратическое отклонение равно квадратному корню из дисперсии:

\[ \sigma = \sqrt{D(X)} = \sqrt{\frac{1071}{1900}} \]
\[ \sigma \approx \sqrt{0.5637} \approx 0.7508 \]

5. Мода

Мода — это значение случайной величины, которое имеет наибольшую вероятность.

Сравним вероятности:

• \( P(X=0) = \frac{91}{285} \approx 0.319 \)
• \( P(X=1) = \frac{91}{190} \approx 0.479 \)
• \( P(X=2) = \frac{7}{38} \approx 0.184 \)
• \( P(X=3) = \frac{1}{57} \approx 0.018 \)

Наибольшая вероятность у \( P(X=1) \).

Ответ:

• Закон распределения:

\( X \)	0	1	2	3
\( P(X=x) \)	\( \frac{91}{285} \)	\( \frac{91}{190} \)	\( \frac{7}{38} \)	\( \frac{1}{57} \)

• Математическое ожидание: \( M(X) = 0.9 \)
• Дисперсия: \( D(X) = \frac{1071}{1900} \approx 0.5637 \)
• Среднее квадратическое отклонение: \( \sigma \approx 0.7508 \)
• Мода: 1