5. В партии из 14 деталей 10 стандартных. Найти вероятность того, что среди 6 взятых наудачу деталей 4 стандартных.

Задание 5. Вероятность выбора стандартных деталей

В партии всего 14 деталей. Из них:

• Стандартных деталей: 10
• Нестандартных деталей: \( 14 - 10 = 4 \)

Науачу берут 6 деталей. Нужно найти вероятность того, что среди этих 6 деталей будет ровно 4 стандартных.

Это задача на гипергеометрическое распределение, решается с помощью сочетаний.

Общее число способов выбрать 6 деталей из 14:

\( C_{14}^6 = \frac{14!}{6!(14-6)!} = \frac{14!}{6!8!} = \frac{14 \times 13 \times 12 \times 11 \times 10 \times 9}{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 14 \times 13 \times 11 \times 3 / (4 \times 2) = 3003 \)

\[ C_{14}^6 = \frac{14 \times 13 \times 12 \times 11 \times 10 \times 9}{720} = 130 \times 11 \times 9 = 3003 \]

Число способов выбрать 4 стандартных детали из 10:

\( C_{10}^4 = \frac{10!}{4!(10-4)!} = \frac{10!}{4!6!} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 10 \times 3 \times 7 = 210 \)

Число способов выбрать оставшиеся \( 6 - 4 = 2 \) нестандартных детали из 4:

\( C_{4}^2 = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4!}{2!2!} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6 \)

Число благоприятных исходов (4 стандартных и 2 нестандартных):

Чтобы получить 4 стандартных детали и 2 нестандартных, нужно перемножить число способов выбрать каждое из этих подмножеств:

\( C_{10}^4 \times C_{4}^2 = 210 \times 6 = 1260 \)

Вероятность события:

\( P(\text{4 стандартных}) = \frac{\text{Число благоприятных исходов}}{\text{Общее число способов выбрать 6 деталей}} = \frac{C_{10}^4 \times C_{4}^2}{C_{14}^6} \)\[ P(\text{4 стандартных}) = \frac{1260}{3003} \]

Сократим дробь. Оба числа делятся на 21:

\[ \frac{1260 \div 21}{3003 \div 21} = \frac{60}{143} \]

Ответ: Вероятность того, что среди 6 взятых наудачу деталей 4 стандартных, равна \( \frac{60}{143} \).