2. На рисунке О — центр окружности, вписанной в треугольник ABD, М, N и K — точки касания окружности со сторонами. Укажите номера верных утверждений:

Краткое пояснение:

Анализ утверждений:

• 1) BP — медиана треугольника ABD: Медиана проводится из вершины к середине противоположной стороны. Из рисунка видно, что P — точка касания на стороне AD, и нет гарантии, что P является серединой AD. Поэтому это утверждение не всегда верно.
• 2) BP — биссектриса треугольника ABD: Биссектриса делит угол пополам. Точка P является точкой касания, и BP не обязательно является биссектрисой угла ABD. Поэтому это утверждение не всегда верно.
• 3) BP — высота треугольника ABD: Высота проводится из вершины перпендикулярно к противоположной стороне. P — точка касания, и BP не обязательно перпендикулярно AD. Поэтому это утверждение не всегда верно.
• 4) BM = BN: Отрезки касательных, проведенных из одной точки к окружности, равны. Точки M и N лежат на стороне BD. Отрезки BM и BN не обязательно равны, так как M и N — точки касания с разными сторонами AB и BD. На рисунке M - точка касания на стороне AB, N - точка касания на стороне BD. Таким образом, BM = BN.
• 5) AM = BM: Точки A, M, B лежат на одной прямой. AM и BM — отрезки, на которые точка M делит сторону AB. Нет информации, что M является серединой AB, поэтому AM не обязательно равно BM. M - точка касания на стороне AB. AM и AN - отрезки касательных из точки A. BN и BK - отрезки касательных из точки B. DM и DK - отрезки касательных из точки D. Таким образом, AM = AK.
• 6) ON ⊥ BD: ON — это радиус окружности, проведенный в точку касания N на стороне BD. Радиус, проведенный в точку касания, всегда перпендикулярен касательной (в данном случае, стороне BD). Это утверждение верно.

Ответ: Верными являются утверждения 4 и 6.