3.1. Найдите ∠BDC, если ∠ACD = 15°, AB ⊥ CD.

Краткое пояснение:

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Определяем, на какую дугу опираются углы ∠BDC и ∠BAC. Оба угла опираются на дугу BC. Следовательно, \( ∠ BDC = ∠ BAC \).
2. Шаг 2: Рассматриваем угол ∠ACD = 15°. Этот угол также опирается на дугу AD.
3. Шаг 3: Поскольку AB ⊥ CD, то угол между хордами (например, угол между пересечением AB и CD) равен 90°. Пусть точка пересечения хорд — E. Тогда \( ∠ AEC = 90° \).
4. Шаг 4: Рассмотрим треугольник AEC. Сумма углов в треугольнике равна 180°. \( ∠ EAC + ∠ ACE + ∠ AEC = 180° \). \( ∠ EAC \) — это угол BAC. \( ∠ ACE \) — это угол ACD.
5. Шаг 5: Подставляем известные значения: \( ∠ BAC + 15° + 90° = 180° \).
6. Шаг 6: Находим \( ∠ BAC \): \( ∠ BAC = 180° - 90° - 15° = 75° \).
7. Шаг 7: Так как \( ∠ BDC = ∠ BAC \), то \( ∠ BDC = 75° \).

Ответ: \( ∠ BDC = 75° \).