2. На сторонах угла O с вершиной в точке O отложены отрезки OA = 4 см, OB = 6 см, OC = 10 см, OD = 15 см. Докажите, что AC ∥ BD, и найдите отношение длин отрезков AC и BD.

Рассмотрим треугольники OAC и OBD. Угол при O у них общий, а отношения сторон, прилежащих к этому углу, равны: \(\frac{OA}{OB}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}\) и \(\frac{OC}{OD}=\frac{10}{15}=\frac{2}{3}\). Следовательно, треугольники подобны по двум сторонам и углу между ними.

Из подобия следует равенство соответствующих углов OAC и OBD. Так как OA и OB лежат на одной прямой, равенство этих углов означает, что AC ∥ BD.

Соответствующие стороны подобных треугольников пропорциональны: \(\frac{AC}{BD}=\frac{OA}{OB}=\frac{2}{3}\).

Ответ: AC ∥ BD; AC:BD = 2:3.