2. Найти первообразную, график которой проходит через т.А a) f(x) = 3x²-2x+4; A(-1;1) б) f(x) = 4x+1/x²; A(-1;4) в) f(x) = sin 2x; A(π/4;-2)

Решение:

Чтобы найти первообразную, проинтегрируем каждую функцию:

a)

\( F(x) = \int (3x^2 - 2x + 4) dx = 3 \frac{x^3}{3} - 2 \frac{x^2}{2} + 4x + C = x^3 - x^2 + 4x + C \)

Подставим координаты точки A(-1;1):

\( 1 = (-1)^3 - (-1)^2 + 4(-1) + C \)

\( 1 = -1 - 1 - 4 + C \)

\( 1 = -6 + C \)

\( C = 7 \)

Следовательно, \( F(x) = x^3 - x^2 + 4x + 7 \).

б)

\( F(x) = \int (4x + \frac{1}{x^2}) dx = \int (4x + x^{-2}) dx = 4 \frac{x^2}{2} + \frac{x^{-1}}{-1} + C = 2x^2 - \frac{1}{x} + C \)

Подставим координаты точки A(-1;4):

\( 4 = 2(-1)^2 - \frac{1}{-1} + C \)

\( 4 = 2(1) + 1 + C \)

\( 4 = 3 + C \)

\( C = 1 \)

Следовательно, \( F(x) = 2x^2 - \frac{1}{x} + 1 \).

в)

\( F(x) = \int \sin(2x) dx = -\frac{1}{2} \cos(2x) + C \)

Подставим координаты точки A(\(\frac{\pi}{4}\);-2):

\( -2 = -\frac{1}{2} \cos(2 \cdot \frac{\pi}{4}) + C \)

\( -2 = -\frac{1}{2} \cos(\frac{\pi}{2}) + C \)

\( -2 = -\frac{1}{2} \cdot 0 + C \)

\( -2 = C \)

Следовательно, \( F(x) = -\frac{1}{2} \cos(2x) - 2 \).

Ответ: a) \( F(x) = x^3 - x^2 + 4x + 7 \); б) \( F(x) = 2x^2 - \frac{1}{x} + 1 \); в) \( F(x) = -\frac{1}{2} \cos(2x) - 2 \).