2. Найти первообразную, график которой проходит через т.А a) f(x) = 4x-6x²+1; A(0;2) б) f(x) = 1/x² - 10x⁴ + 3; A(1;5) в) f(x) = √2 cos x; A(π/4;2)

Решение:

a)

\( F(x) = \int (4x - 6x^2 + 1) dx = 4\frac{x^2}{2} - 6\frac{x^3}{3} + x + C = 2x^2 - 2x^3 + x + C \)

Подставим координаты точки A(0;2):

\( 2 = 2(0)^2 - 2(0)^3 + 0 + C \)

\( 2 = C \)

Следовательно, \( F(x) = 2x^2 - 2x^3 + x + 2 \).

б)

\( F(x) = \int (\frac{1}{x^2} - 10x^4 + 3) dx = \int (x^{-2} - 10x^4 + 3) dx = \frac{x^{-1}}{-1} - 10\frac{x^5}{5} + 3x + C = -\frac{1}{x} - 2x^5 + 3x + C \)

Подставим координаты точки A(1;5):

\( 5 = -\frac{1}{1} - 2(1)^5 + 3(1) + C \)

\( 5 = -1 - 2 + 3 + C \)

\( 5 = 0 + C \)

\( C = 5 \)

Следовательно, \( F(x) = -\frac{1}{x} - 2x^5 + 3x + 5 \).

в)

\( F(x) = \int \sqrt{2} \cos x dx = \sqrt{2} \sin x + C \)

Подставим координаты точки A(\(\frac{\pi}{4}\);2):

\( 2 = \sqrt{2} \sin(\frac{\pi}{4}) + C \)

\( 2 = \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + C \)

\( 2 = \frac{2}{2} + C \)

\( 2 = 1 + C \)

\( C = 1 \)

Следовательно, \( F(x) = \sqrt{2} \sin x + 1 \).

Ответ: a) \( F(x) = 2x^2 - 2x^3 + x + 2 \); б) \( F(x) = -\frac{1}{x} - 2x^5 + 3x + 5 \); в) \( F(x) = \sqrt{2} \sin x + 1 \).