3. Найти площадь криволинейной трапеции y = x³, y = 0; x = 1; x = 2

Решение:

Площадь криволинейной трапеции находится по формуле:

\( S = \int_{a}^{b} f(x) dx \)

В данном случае \( f(x) = x^3 \), \( a = 1 \), \( b = 2 \).

\( S = \int_{1}^{2} x^3 dx \)

Найдем первообразную:

\( F(x) = \int x^3 dx = \frac{x^4}{4} \)

Вычислим определенный интеграл:

\( S = [\frac{x^4}{4}]_{1}^{2} = \frac{2^4}{4} - \frac{1^4}{4} = \frac{16}{4} - \frac{1}{4} = \frac{15}{4} \)

Ответ: \( S = \frac{15}{4} \).