4. Найти площадь фигуры, ограниченной графиками функции y=-x²-4x и y=4+x

Решение:

Для нахождения площади фигуры, ограниченной двумя графиками, сначала найдем точки их пересечения. Приравняем функции:

\( -x^2 - 4x = 4 + x \)

\( -x^2 - 5x - 4 = 0 \)

\( x^2 + 5x + 4 = 0 \)

Решим квадратное уравнение (через дискриминант или по теореме Виета):

\( D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 25 - 16 = 9 \)

\( x_1 = \frac{-5 + \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{-5 + 3}{2} = -1 \)

\( x_2 = \frac{-5 - \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{-5 - 3}{2} = -4 \)

Теперь найдем площадь фигуры, используя определенный интеграл. Верхняя граница интегрирования — \( x = -1 \), нижняя — \( x = -4 \). Функция, находящаяся выше, — \( y = 4 + x \), ниже — \( y = -x^2 - 4x \).

\( S = \int_{-4}^{-1} ((4+x) - (-x^2-4x)) dx \)

\( S = \int_{-4}^{-1} (x^2 + 5x + 4) dx \)

Найдем первообразную:

\( F(x) = \int (x^2 + 5x + 4) dx = \frac{x^3}{3} + \frac{5x^2}{2} + 4x \)

Вычислим определенный интеграл:

\( S = [\frac{x^3}{3} + \frac{5x^2}{2} + 4x]_{-4}^{-1} \)

\( S = (\frac{(-1)^3}{3} + \frac{5(-1)^2}{2} + 4(-1)) - (\frac{(-4)^3}{3} + \frac{5(-4)^2}{2} + 4(-4)) \)

\( S = (-\frac{1}{3} + \frac{5}{2} - 4) - (-\frac{64}{3} + \frac{5 \cdot 16}{2} - 16) \)

\( S = (-\frac{1}{3} + \frac{5}{2} - 4) - (-\frac{64}{3} + 40 - 16) \)

\( S = (-\frac{2}{6} + \frac{15}{6} - \frac{24}{6}) - (-\frac{64}{3} + 24) \)

\( S = (\frac{13 - 24}{6}) - (-\frac{64}{3} + \frac{72}{3}) \)

\( S = -\frac{11}{6} - \frac{8}{3} \)

\( S = -\frac{11}{6} - \frac{16}{6} \)

\( S = -\frac{27}{6} \)

Поскольку площадь не может быть отрицательной, берем модуль:

\( S = |-\frac{27}{6}| = \frac{27}{6} = \frac{9}{2} = 4.5 \)

Ответ: \( S = 4.5 \).