3. Найти площадь криволинейной трапеции y = 2x², y = 0; x = -1; x = 1

Решение:

Площадь криволинейной трапеции находится по формуле:

\( S = \int_{a}^{b} f(x) dx \)

В данном случае \( f(x) = 2x^2 \), \( a = -1 \), \( b = 1 \).

\( S = \int_{-1}^{1} 2x^2 dx \)

Найдем первообразную:

\( F(x) = \int 2x^2 dx = 2 \frac{x^3}{3} \)

Вычислим определенный интеграл:

\( S = [\frac{2x^3}{3}]_{-1}^{1} = \frac{2(1)^3}{3} - \frac{2(-1)^3}{3} = \frac{2}{3} - \frac{-2}{3} = \frac{2}{3} + \frac{2}{3} = \frac{4}{3} \)

Ответ: \( S = \frac{4}{3} \).