4. Найти площадь фигуры, ограниченной графиками функции y = 4x-x² и y = 4-x

Решение:

Сначала найдем точки пересечения графиков функций:

\( 4x - x^2 = 4 - x \)

\( -x^2 + 5x - 4 = 0 \)

\( x^2 - 5x + 4 = 0 \)

Решим квадратное уравнение:

\( x_1 = 1, x_2 = 4 \)

Теперь найдем площадь фигуры, используя определенный интеграл. Верхняя граница интегрирования — \( x = 4 \), нижняя — \( x = 1 \). Функция, находящаяся выше, — \( y = 4x - x^2 \), ниже — \( y = 4 - x \).

\( S = \int_{1}^{4} ((4x-x^2) - (4-x)) dx \)

\( S = \int_{1}^{4} (4x - x^2 - 4 + x) dx \)

\( S = \int_{1}^{4} (-x^2 + 5x - 4) dx \)

Найдем первообразную:

\( F(x) = \int (-x^2 + 5x - 4) dx = -\frac{x^3}{3} + \frac{5x^2}{2} - 4x \)

Вычислим определенный интеграл:

\( S = [-\frac{x^3}{3} + \frac{5x^2}{2} - 4x]_{1}^{4} \)

\( S = (-\frac{4^3}{3} + \frac{5 \cdot 4^2}{2} - 4 \cdot 4) - (-\frac{1^3}{3} + \frac{5 \cdot 1^2}{2} - 4 \cdot 1) \)

\( S = (-\frac{64}{3} + \frac{5 \cdot 16}{2} - 16) - (-\frac{1}{3} + \frac{5}{2} - 4) \)

\( S = (-\frac{64}{3} + 40 - 16) - (-\frac{1}{3} + \frac{5}{2} - 4) \)

\( S = (-\frac{64}{3} + 24) - (-\frac{2}{6} + \frac{15}{6} - \frac{24}{6}) \)

\( S = (-\frac{64}{3} + \frac{72}{3}) - (\frac{13-24}{6}) \)

\( S = \frac{8}{3} - (-\frac{11}{6}) \)

\( S = \frac{8}{3} + \frac{11}{6} \)

\( S = \frac{16}{6} + \frac{11}{6} = \frac{27}{6} = \frac{9}{2} = 4.5 \)

Ответ: \( S = 4.5 \).