2. Параллелограмм. Свойства и признаки. (доказательство одного свойства и одного признака).

Определение. Параллелограмм — четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.

Свойства: противоположные стороны равны; противоположные углы равны; сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна \(180^\circ\); диагонали точкой пересечения делятся пополам.

Доказательство свойства: диагонали делятся пополам. Пусть диагонали \(AC\) и \(BD\) пересекаются в точке \(O\). В треугольниках \(AOB\) и \(COD\): \(\angle ABO=\angle CDO\) как накрест лежащие при \(AB\parallel CD\); \(\angle BAO=\angle DCO\) по той же причине; \(AB=CD\) как противоположные стороны параллелограмма. Следовательно, треугольники равны по стороне и двум прилежащим к ней углам. Значит, \(AO=OC\) и \(BO=OD\).

Признаки: четырёхугольник является параллелограммом, если его противоположные стороны попарно равны; или если одна пара противоположных сторон равна и параллельна; или если диагонали точкой пересечения делятся пополам.

Доказательство признака: одна пара противоположных сторон равна и параллельна. Пусть в четырёхугольнике \(ABCD\) стороны \(AB\) и \(CD\) параллельны и равны. Проведём диагональ \(AC\). В треугольниках \(BAC\) и \(DCA\): \(AB=CD\) по условию, \(AC\) — общая сторона, а \(\angle BAC=\angle DCA\) как накрест лежащие при \(AB\parallel CD\). Треугольники равны по двум сторонам и углу между ними. Поэтому \(\angle BCA=\angle DAC\), откуда \(BC\parallel AD\). Обе пары противоположных сторон параллельны, значит, \(ABCD\) — параллелограмм.