5. Квадрат. Свойства и признак (доказательство).

Определение. Квадрат — прямоугольник, у которого все стороны равны; равносильно: ромб, у которого все углы прямые.

Свойства: все стороны равны, все углы прямые; противоположные стороны параллельны; диагонали равны, взаимно перпендикулярны, делятся точкой пересечения пополам и делят углы квадрата пополам.

Признаки: прямоугольник является квадратом, если его соседние стороны равны; ромб является квадратом, если у него один угол прямой. Также квадратом является параллелограмм, диагонали которого равны и перпендикулярны.

Доказательство признака для прямоугольника. Пусть соседние стороны прямоугольника равны. Противоположные стороны прямоугольника равны соответственно этим сторонам, поэтому все четыре стороны равны. У прямоугольника все углы прямые, следовательно, он удовлетворяет определению квадрата.