4. Ромб. Свойства и признак (доказательство).

Определение. Ромб — параллелограмм, у которого все стороны равны.

Свойства: противоположные углы равны; диагонали точкой пересечения делятся пополам; диагонали взаимно перпендикулярны и каждая диагональ делит углы ромба, через вершины которых она проходит, пополам.

Доказательство свойства перпендикулярности диагоналей. Пусть диагонали ромба \(ABCD\) пересекаются в точке \(O\). Как у параллелограмма, диагонали делятся пополам, поэтому \(AO=OC\). Кроме того, \(AB=BC\), а \(BO\) — общая сторона треугольников \(ABO\) и \(CBO\). Эти треугольники равны по трём сторонам. Следовательно, \(\angle AOB=\angle BOC\). Эти углы смежные, поэтому каждый равен \(90^\circ\), то есть \(AC\perp BD\).

Признаки: параллелограмм является ромбом, если его соседние стороны равны; также параллелограмм является ромбом, если его диагонали перпендикулярны. Кроме того, четырёхугольник с четырьмя равными сторонами — ромб.

Доказательство признака через соседние стороны. Пусть в параллелограмме две соседние стороны равны. Противоположные стороны параллелограмма попарно равны, поэтому каждая из двух остальных сторон равна соответствующей соседней стороне. Значит, все четыре стороны равны, и параллелограмм является ромбом.