3. Прямоугольник. Свойства и признак (доказательство).

Определение. Прямоугольник — параллелограмм, у которого все углы прямые.

Свойства: противоположные стороны равны и параллельны; диагонали точкой пересечения делятся пополам; диагонали равны.

Доказательство свойства равенства диагоналей. В прямоугольнике \(ABCD\) рассмотрим прямоугольные треугольники \(ABC\) и \(BAD\). У них \(AB\) — общая сторона, а \(BC=AD\), поскольку это противоположные стороны параллелограмма. Треугольники равны по двум катетам, поэтому их гипотенузы равны: \(AC=BD\).

Признак: если один угол параллелограмма прямой, то этот параллелограмм — прямоугольник. Действительно, соседние углы параллелограмма в сумме составляют \(180^\circ\), а противоположные углы равны. Если один угол равен \(90^\circ\), то и соседний, и противоположный углы также равны \(90^\circ\); значит, все углы прямые.