2. Площадь прямоугольного треугольника равна \(512\sqrt{3}\). Один из острых углов равен \(60^\circ\). Найдите длину катета, прилежащего к этому углу.

Пусть прилежащий к углу \(60^\circ\) катет равен \(x\). Тогда противолежащий катет равен \(x\tan 60^\circ=x\sqrt{3}\).

По формуле площади прямоугольного треугольника:

\(\dfrac{x\cdot x\sqrt{3}}{2}=512\sqrt{3}\).

Сокращаем на \(\sqrt{3}\): \(x^2/2=512\), откуда \(x^2=1024\). Длина положительна, поэтому \(x=32\).

Ответ: 32.