2. Площадь прямоугольного треугольника равна \(512\sqrt{3}\). Один из острых углов равен 60°. Найдите длину катета, прилежащего к этому углу.

Обозначим прилежащий к углу 60° катет через \(x\). Тогда второй катет равен \(x\tan 60^\circ=x\sqrt{3}\).

По формуле площади прямоугольного треугольника:

\(\frac{x\cdot x\sqrt{3}}{2}=512\sqrt{3}\).

Сокращаем на \(\sqrt{3}\): \(x^2/2=512\), поэтому \(x^2=1024\). Длина положительна, значит \(x=32\).

Ответ: 32.