2. Плоскость α проходит через сторону AC треугольника ABC. Прямая пересекает стороны AB и BC данного треугольника в точках M и N соответственно, причём BN : NC = 2 : 3, AM : AB = 3 : 5. а) Докажите, что MN ∥ α. б) Найдите MN, если AC = 30 см.

а) Так как AM/AB = 3/5, то BM/BA = 1 − 3/5 = 2/5. Из BN : NC = 2 : 3 следует BN/BC = 2/5. Значит, BM/BA = BN/BC. По обратной теореме Фалеса MN ∥ AC. Поскольку AC лежит в плоскости α, получаем MN ∥ α.

б) Из подобия треугольников BMN и BAC следует MN/AC = BM/BA = 2/5. Поэтому MN = 30 · 2/5 = 12 см.

Ответ: а) MN ∥ α; б) 12 см.