3. Точки A, B, C и D не лежат в одной плоскости. Найдите угол между прямыми AB и CD, если AB = CD = 6 см, а расстояние между серединами отрезков AD и BC = 3 см.

Обозначим через P и Q середины AD и BC. По правилу сложения векторов для направленных отрезков получаем, что вектор PQ равен половине суммы векторов AB и DC. Следовательно, |AB + DC| = 2PQ = 6 см.

Пусть θ — угол между направлениями AB и DC. Так как |AB| = |DC| = 6 см, по формуле квадрата длины суммы:

36 = 6² + 6² + 2 · 6 · 6 cos θ, откуда cos θ = −1/2 и θ = 120°.

Угол между прямыми берут не больше 90°. Прямая CD имеет противоположное направление вектору DC, поэтому искомый угол равен 180° − 120° = 60°.

Ответ: 60°.