2. Проводится серия из 5 испытаний Бернулли с вероятностью успеха 0,2 в каждом испытании. Найдите вероятность того, что ровно 4 испытания закончатся успехом.

Краткая запись:

• Серия из n=5 испытаний Бернулли.
• Вероятность успеха p=0,2.
• Найти: вероятность того, что ровно k=4 испытания закончатся успехом.

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Определим вероятность неудачи. Если вероятность успеха p = 0,2, то вероятность неудачи q = 1 - p = 1 - 0,2 = 0,8.
2. Шаг 2: Применим формулу Бернулли: \( P_{n}(k) = C_{n}^{k} \cdot p^{k} \cdot q^{n-k} \), где \( C_{n}^{k} \) — число сочетаний из n по k.
3. Шаг 3: Рассчитаем число сочетаний \( C_{5}^{4} \). \( C_{5}^{4} = \frac{5!}{4!(5-4)!} = \frac{5!}{4!1!} = 5 \).
4. Шаг 4: Подставим значения в формулу Бернулли: \( P_{5}(4) = C_{5}^{4} \cdot (0,2)^{4} \cdot (0,8)^{5-4} \)
   \( P_{5}(4) = 5 \cdot (0,2)^{4} \cdot (0,8)^{1} \)
   \( P_{5}(4) = 5 \cdot 0,0016 \cdot 0,8 \)
   \( P_{5}(4) = 5 \cdot 0,00128 \)
   \( P_{5}(4) = 0,0064 \).

Ответ: 0,0064