2. Разложите на множители: a) b²c-9c б) 2a²+12a+18 в) 2x-x²+y²+2y

Задание 2. Разложение на множители

а) \( b^2c - 9c \)

Сначала вынесем общий множитель \( c \) за скобки:

\[ c(b^2 - 9) \]

Выражение в скобках — разность квадратов \( b^2 - 3^2 \). Используем формулу \( a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) \):

\[ c(b - 3)(b + 3) \]

Ответ: \( c(b - 3)(b + 3) \)

б) \( 2a^2 + 12a + 18 \)

Сначала вынесем общий множитель \( 2 \) за скобки:

\[ 2(a^2 + 6a + 9) \]

Выражение в скобках — полный квадрат суммы \( a^2 + 2 \cdot a \cdot 3 + 3^2 \). Используем формулу \( a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2 \):

\[ 2(a + 3)^2 \]

Ответ: \( 2(a + 3)^2 \)

в) \( 2x - x^2 + y^2 + 2y \)

Перегруппируем слагаемые, чтобы увидеть полные квадраты:

\[ (y^2 + 2y + 1) - (x^2 - 2x + 1) \]

Первая группа — полный квадрат суммы \( (y+1)^2 \), вторая группа — полный квадрат разности \( (x-1)^2 \). Перед второй группой стоит минус, поэтому знаки внутри скобок меняются.

\[ (y + 1)^2 - (x - 1)^2 \]

Это разность квадратов. Применим формулу \( A^2 - B^2 = (A-B)(A+B) \), где \( A = y+1 \) и \( B = x-1 \):

\[ ((y+1) - (x-1))((y+1) + (x-1)) \]

Раскроем внутренние скобки:

\[ (y + 1 - x + 1)(y + 1 + x - 1) \]

\[ (y - x + 2)(y + x) \]

Ответ: \( (y - x + 2)(y + x) \)