2. Решить логарифмическое уравнение: log₃(x-2) - log₃(x + 6) = 2

Решение:

Для начала определим область допустимых значений (ОДЗ):

\( x - 2 > 0 \Rightarrow x > 2 \)

\( x + 6 > 0 \Rightarrow x > -6 \)

Объединяя условия, получаем ОДЗ: \( x > 2 \).

Используем свойство логарифмов \( \log_a b - \log_a c = \log_a \frac{b}{c} \):

\[ \log_3 \frac{x-2}{x+6} = 2 \]

Перейдём от логарифмического уравнения к степенному:

\[ \frac{x-2}{x+6} = 3^2 \]

\[ \frac{x-2}{x+6} = 9 \]

Решим полученное уравнение:

\[ x - 2 = 9(x+6) \]

\[ x - 2 = 9x + 54 \]

\[ x - 9x = 54 + 2 \]

\[ -8x = 56 \]

\[ x = \frac{56}{-8} \]

\[ x = -7 \]

Проверим полученное решение с ОДЗ \( x > 2 \). Так как \( -7 \) не удовлетворяет условию \( x > 2 \), данное уравнение не имеет решений.

Ответ: нет корней.