7. Решить тригонометрическое уравнение: 2tg² x - tan x - 3 = 0

Решение:

Сделаем замену переменной. Пусть \( t = \tan x \). Тогда уравнение примет вид:

\[ 2t^2 - t - 3 = 0 \]

Решим это квадратное уравнение относительно \( t \). Найдем дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 1 + 24 = 25 \]

Найдем корни:

\[ t_1 = \frac{-(-1) + \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{1 + 5}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2} \]

\[ t_2 = \frac{-(-1) - \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{1 - 5}{4} = \frac{-4}{4} = -1 \]

Теперь вернёмся к замене \( t = \tan x \) и решим два простейших тригонометрических уравнения:

1) \( \tan x = \frac{3}{2} \)

\( x = \arctan\left(\frac{3}{2}\right) + \pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \).

2) \( \tan x = -1 \)

\( x = -\frac{\pi}{4} + \pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \).

Ответ: \( x = \arctan\left(\frac{3}{2}\right) + \pi k \), \( x = -\frac{\pi}{4} + \pi n \), где \( k, n \in \mathbb{Z} \).