2. Решите неравенство: \frac{|2x+1|}{x^2-x-2} \geq 3

Рассмотрим два случая. Случай 1: $$2x + 1 \ge 0$$ или $$x \ge -1/2$$. Тогда $$|2x+1| = 2x+1$$ и неравенство принимает вид: \begin{align*}\frac{2x+1}{x^2-x-2} \ge 3 \\ \frac{2x+1}{x^2-x-2} - 3 \ge 0 \\ \frac{2x+1 - 3(x^2-x-2)}{x^2-x-2} \ge 0 \\ \frac{2x+1 - 3x^2+3x+6}{x^2-x-2} \ge 0 \\ \frac{-3x^2 + 5x + 7}{x^2-x-2} \ge 0\end{align*}Найдем нули числителя: $$-3x^2 + 5x + 7 = 0$$ или $$3x^2 - 5x - 7 = 0$$. Решая квадратное уравнение, получаем $$x = \frac{5 \pm \sqrt{25+84}}{6} = \frac{5 \pm \sqrt{109}}{6}$$. $$x_1 \approx -0.91$$, $$x_2 \approx 2.58$$. Найдем нули знаменателя: $$x^2 - x - 2 = 0$$ или $$(x-2)(x+1) = 0$$. $$x = -1$$ или $$x = 2$$. Так как $$x \ge -\frac{1}{2}$$, то решения лежат в интервале $$[-\frac{1}{2}; 2) \cup [\frac{5 + \sqrt{109}}{6}]$$. Случай 2: $$2x+1 < 0$$ или $$x < -1/2$$. Тогда $$|2x+1| = -(2x+1)$$ и неравенство принимает вид: \begin{align*}\frac{-(2x+1)}{x^2-x-2} \ge 3 \\ \frac{-2x-1}{x^2-x-2} - 3 \ge 0 \\ \frac{-2x-1 - 3(x^2-x-2)}{x^2-x-2} \ge 0 \\ \frac{-2x-1 - 3x^2+3x+6}{x^2-x-2} \ge 0 \\ \frac{-3x^2 + x + 5}{x^2-x-2} \ge 0\end{align*}Найдем нули числителя: $$-3x^2 + x + 5 = 0$$ или $$3x^2 - x - 5 = 0$$. Решая квадратное уравнение, получаем $$x = \frac{1 \pm \sqrt{1+60}}{6} = \frac{1 \pm \sqrt{61}}{6}$$. $$x_1 \approx -1.13$$, $$x_2 \approx 1.47$$. Так как $$x < -1/2$$, то решения лежат в интервале $$(-\infty; -1.13]$$. Итоговое решение неравенства: $$(-\infty; \frac{1-\sqrt{61}}{6}] \cup [\frac{5 - \sqrt{109}}{6}; -1) \cup [-\frac{1}{2}; 2) \cup [\frac{5 + \sqrt{109}}{6}; +\infty)$$