2) Решите систему: {x³ + y³ − x + 2xy − y = 2; x³ + y³ − xy + 2y = 5 − 2x}.

Обозначим сумму переменных через s = x + y, а произведение — через p = xy. Тогда x³ + y³ = s³ − 3ps.

Вычитая второе уравнение из первого, получаем: 3p + s − 3y = −3. Однако здесь остаётся отдельное y, поэтому используем более прямое преобразование исходной системы: вычитание уравнений даёт 3xy + x − 3y = −3. Из первого уравнения также следует x³ + y³ + 2xy − x − y = 2.

Удобнее сложить уравнения после записи второго как x³ + y³ − xy + 2x + 2y = 5. В обозначениях s, p получаем систему: s³ − 3ps + 2p − s = 2; s³ − 3ps − p + 2s = 5. Вычитая первое уравнение из второго, находим p − s = 1, то есть p = s + 1.

Подстановка в первое уравнение даёт s³ − 3s(s + 1) + 2(s + 1) − s = 2, откуда s³ − 3s² − 2s = 2. Следовательно, сначала необходимо найти действительные корни этого кубического уравнения, а затем решить квадратное уравнение с корнями x и y: t² − st + p = 0.

Ответ: пары (x, y) получаются из действительных корней s уравнения s³ − 3s² − 2s − 2 = 0 при p = s + 1, как корни уравнения t² − st + p = 0.