2. Решите уравнение: 1) x⁴ - 24x² - 25 = 0; 2) $$ \frac{x^2+5x}{x-1} = \frac{6}{x-1} $$

Привет! Давай решим эти уравнения. Они немного хитрее обычных, но мы справимся!

1. Уравнение x⁴ - 24x² - 25 = 0

Это биквадратное уравнение. Чтобы его решить, сделаем замену переменной. Пусть t = x². Тогда уравнение примет вид:

• t² - 24t - 25 = 0

Теперь решаем это квадратное уравнение относительно t:

1. Находим дискриминант: D = b² - 4ac = (-24)² - 4 \(\times\) 1 \(\times\) (-25) = 576 + 100 = 676.
2. Находим корни для t: 676 = 26.
   t₁ = \(\frac{-(-24) + 26}{2 \times 1}\) = \(\frac{24 + 26}{2}\) = \(\frac{50}{2}\) = 25.
   t₂ = \(\frac{-(-24) - 26}{2 \times 1}\) = \(\frac{24 - 26}{2}\) = \(\frac{-2}{2}\) = -1.

Теперь возвращаемся к нашей замене t = x²:

• Случай 1: x² = 25. Отсюда получаем x = 25, то есть x = 5 и x = -5.
• Случай 2: x² = -1. Это уравнение не имеет действительных корней, потому что квадрат числа не может быть отрицательным.

2. Уравнение \(\frac{x²+5x}{x-1}\) = \(\frac{6}{x-1}\)

Это дробно-рациональное уравнение. Главное правило здесь — знаменатель не должен быть равен нулю. Значит, x-1 ≠ 0, откуда x ≠ 1.

1. Приводим к общему знаменателю (или просто приравниваем числители, т.к. знаменатели равны):
   x² + 5x = 6
2. Переносим всё в одну сторону:
   x² + 5x - 6 = 0
3. Решаем полученное квадратное уравнение:
   Дискриминант: D = 5² - 4 \(\times\) 1 \(\times\) (-6) = 25 + 24 = 49.
   49 = 7.
   x₁ = \(\frac{-5 + 7}{2 \times 1}\) = \(\frac{2}{2}\) = 1.
   x₂ = \(\frac{-5 - 7}{2 \times 1}\) = \(\frac{-12}{2}\) = -6.
4. Проверяем ОДЗ: Мы выяснили, что x ≠ 1. Корень x₁ = 1 не подходит, так как он обращает знаменатель в ноль. Значит, он является посторонним корнем.

Ответ:

• 1) x = 5, x = -5
• 2) x = -6