3. Сократите дробь $$ \frac{3a^2 - 5a - 2}{a^2 - 4} $$

Привет! Давай сократим эту дробь. Чтобы это сделать, нам нужно разложить числитель и знаменатель на множители.

Шаг 1: Разложение знаменателя

• Знаменатель a² - 4 — это разность квадратов. Её формула: a² - b² = (a - b)(a + b).
• В нашем случае b² = 4, значит b = 2.
• Итак, a² - 4 = (a - 2)(a + 2).

Шаг 2: Разложение числителя

• Числитель 3a² - 5a - 2 — это квадратный трёхчлен. Чтобы его разложить, найдём корни уравнения 3a² - 5a - 2 = 0.
• Сначала найдём дискриминант: D = b² - 4ac = (-5)² - 4 \(\times\) 3 \(\times\) (-2) = 25 + 24 = 49.
• Теперь найдём корни: 49 = 7.
• a₁ = \(\frac{-(-5) + 7}{2 \times 3}\) = \(\frac{5 + 7}{6}\) = \(\frac{12}{6}\) = 2.
• a₂ = \(\frac{-(-5) - 7}{2 \times 3}\) = \(\frac{5 - 7}{6}\) = \(\frac{-2}{6}\) = -\(\frac{1}{3}\).
• Разложение квадратного трёхчлена имеет вид: a(a - a₁)(a - a₂).
• Тогда 3a² - 5a - 2 = 3(a - 2)(a - \(-\frac{1}{3}\)) = 3(a - 2)\(a + \frac{1}{3}\).
• Можно раскрыть тройку: (a - 2)(3a + 1).

Шаг 3: Сокращение дроби

• Теперь у нас есть дробь: \(\frac\){3(a - 2)\(a + \frac{1}{3}\)}{(a - 2)(a + 2)} или \(\frac{(a - 2)(3a + 1)}{(a - 2)(a + 2)}\).
• Видим, что множитель (a - 2) есть и в числителе, и в знаменателе. Мы можем его сократить (при условии, что a ≠ 2, иначе знаменатель будет равен нулю).

После сокращения остаётся:

• \(\frac\){3\(a + \frac{1}{3}\)}{a + 2} или \(\frac{3a + 1}{a + 2}\).

Ответ: \(\frac{3a + 1}{a + 2}\)