6. Постройте график функции $$ y = \frac{x^2 - x - 12}{x - 4} $$

Привет! Давай построим график этой функции. Сначала его упростим.

Шаг 1: Упростим функцию

• Знаменатель x - 4. Значит, область определения функции: x ≠ 4.
• Разложим числитель x² - x - 12 на множители. Для этого найдём корни уравнения x² - x - 12 = 0.
• Дискриминант: D = (-1)² - 4 \(\times\) 1 \(\times\) (-12) = 1 + 48 = 49.
• 49 = 7.
• x₁ = \(\frac{-(-1) + 7}{2 \times 1}\) = \(\frac{1 + 7}{2}\) = \(\frac{8}{2}\) = 4.
• x₂ = \(\frac{-(-1) - 7}{2 \times 1}\) = \(\frac{1 - 7}{2}\) = \(\frac{-6}{2}\) = -3.
• Значит, числитель раскладывается как (x - 4)(x - (-3)) = (x - 4)(x + 3).

Шаг 2: Сократим дробь

• Теперь наша функция выглядит так: y = \(\frac{(x - 4)(x + 3)}{x - 4}\).
• Мы можем сократить (x - 4), но помним, что x ≠ 4.
• Получаем упрощённую функцию: y = x + 3.

Шаг 3: Строим график

• График функции y = x + 3 — это прямая линия.
• Точка, где x = 4, выколота, так как эта функция не определена в этой точке.
• Найдем координаты выколотой точки:
• Подставим x = 4 в упрощённое уравнение: y = 4 + 3 = 7.
• Итак, точка (4; 7) будет выколота на графике.

График:

Описание графика:

• Это прямая линия y = x + 3.
• На графике есть выколотая точка с координатами (4; 7).

Ответ: График — прямая y = x + 3 с выколотой точкой (4; 7).