2. Решите уравнения: а) $4^{x+3}+4^x=260$; б) $\frac{100\cdot4^{x^2}}{5^{5x}}=\frac{32^x}{25^{x^2}}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 2. Решите уравнения: а) $4^{x+3}+4^x=260$; б) $\frac{100\cdot4^{x^2}}{5^{5x}}=\frac{32^x}{25^{x^2}}$.$ Фото задания

Accepted Answer

а) Вынесем $4^x$: $4^x(4^3+1)=260$, поэтому $65\cdot4^x=260$, $4^x=4=4^1$. Следовательно, $x=1$.

б) Представим выражение через простые основания и возьмём натуральные логарифмы:

$100=10^2$, а преобразование уравнения после логарифмирования даёт $2x^2\ln 10-5x\ln 10+2\ln 5=0$.

По формуле корней квадратного уравнения:

$x=\frac{5\ln 10\pm\sqrt{25(\ln 10)^2-16\ln 10\ln 5}}{4\ln 10}$.

Приближённо: $x\approx0{,}3207$ или $x\approx2{,}1793$.

Ответ: а) $1$; б) $\frac{5\ln 10\pm\sqrt{25(\ln 10)^2-16\ln 10\ln 5}}{4\ln 10}$ (приблизительно $0{,}3207$ и $2{,}1793$).

2. Решите уравнения: а) \(4^{x+3}+4^x=260\); б) \(\frac{100\cdot4^{x^2}}{5^{5x}}=\frac{32^x}{25^{x^2}}\).